前言
两年前一位姚班大神学长回到高中母校并出了这样一道题：抢红包。
\(10\) 个人抢价值 \(10\) 元的红包，手气最佳同学抢到的红包的期望是多少？
注意这里是最大值，而最大值问题其实要比最小值问题难。当时我硬用积分和一些奇技淫巧给出了最小值的解答—— \(\dfrac{1}{10}\) 。而后大神给出了一个非常漂亮的解答，在这个解答中给出了任意排名的红包期望值。
为了尽量严谨化题意，他给出了一个等价的问题：
一段长为 \(n\) 的环形绳子，随机地切 \(n\) 刀，最长的一段长度的期望是多少？
“红包”的题面有一定歧义，因为我们没法很好定义怎么让 \(n\) 个人均匀地抢；而这个问题是良定义的，因为我可以良定义每一刀的均匀性——只要这一刀的概率密度在整根绳上均匀分布就可以了。
题主的问题相较于绳子版本的问题，相当于已经切好了第一刀——无论第一刀怎么切，环状绳子都会变成一段线状绳子，而这就和“玻璃棒”是等价的了。我们只需要一个额外假设——玻璃棒每一处断裂的可能性（在某种测度意义下）都是均等的——就可以说，题主的问题和绳子问题是等价的了。
题外话：我猜这个问题是受毕导一篇关于抢红包的文章的启发而来的。都是清华的大佬，想必在学术问题上也一定有很多交流吧（？
形式化题意
我们令 \(x_i\) 代表玻璃棒碎片的第 \(i\) 段的长度是多少。
概率密度函数在概率空间
\[ \Delta = \left\lbrace x \in \mathbb{R}^n : \sum x_i = 1, x_i \ge 0 \right\rbrace \]
给出的 \((n-1)\) 维多面体（如果读者熟悉的话，也就是单纯形）中是均匀分布的。从而，我们要研究的就变成了 \(\textbf {E} [\min \lbrace x_i\rbrace]\) 的值是多少。
至于为什么是均匀分布的，这里加以不太严谨地简单说明：
我们令 \(b_i\) 代表在环状绳子上切的第 \(i\) 刀的位置，那么， \(b \in \mathbb{T}^n\) 就是均匀分布的。我们令 \(l : \mathbb{T}^n \rightarrow \Delta_{n-1}\) 代表从 \(b_1\) 开始顺时针排列下每一段的绳长的计算函数。那么不难验证，这个函数是分 \(n!\) 段线性的，而每一段恰好对应一种 \(b_1\) 到 \(b_n\) 的大小顺序关系（也就是每一段绳子的起点和终点到底对应第几刀），且每一段几乎都是一个双射。而线性函数总是将均匀分布映射到均匀分布。
漂亮的构造
令
\[ S = \lbrace x \in \Delta : x_1 \ge \dots \ge x_n \rbrace \]
这是 \(\Delta\) 中保证 \(x_i\) 大小顺序的一个子多面体。显然，对于 \(x_i\) 之间大小顺序的 \(n!\) 种情况都是对称的，所以我们只要考虑在 \(S\) 中 \(\textbf {E}_{x \in S} [\min \lbrace x_i \rbrace] = \textbf {E}_{x \in S} [x_n]\) 的值是多少。
最关键的一步：构造线性双射：
\[ f : \Delta \rightarrow S, t \mapsto \left( \displaystyle\sum_{k=i}^n \frac{t_k}{k} \right)_i = \left( t_1 + \dfrac{1}{2} t_2 + \dots + \dfrac{1}{n} t_n, \dfrac{1}{2} t_2 + \dots + \dfrac{1}{n} t_n, \dots, \dfrac{1}{n-1} t_{n-1} + \dfrac{1}{n} t_n, \dfrac{1}{n} t_n \right) \]
用矩阵来表达，就是
\[ f = \begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} & \cdots & \dfrac{1}{n} \\[1.5ex] 0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{3} & \cdots & \dfrac{1}{n} \\[1.5ex] 0 & 0 & \dfrac{1}{3} & \cdots & \dfrac{1}{n} \\[1.5ex] \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1.5ex] 0 & 0 & 0 & \cdots & \dfrac{1}{n} \end{pmatrix} \]
容易验证 \(f\) 双射的性质。
我们发现，随机变量 \(x\) 在这里可以用随机变量 \(t\) 来表示： \(x=f(t)\)
那么，对于题主最小值的问题，有
\[ \textbf {E}_{x \in S} [x_n] = \textbf {E}_{t \in \Delta} \left[ \dfrac{1}{n} t_n \right] = \dfrac{1}{n} \textbf {E}_{t \in \Delta} [t_n] = \dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{n^2} \]
而对于原题最大值的问题，有
\[ \textbf {E}_{x \in S} [x_1] = \textbf {E}_{t \in \Delta} \left[ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{t_i}{i} \right] = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i} \textbf {E}_{t \in \Delta} [t_i] = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i} \cdot \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{n} \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i} \]
但是要注意原题红包总额是 \(n = 10\) ，所以手气最佳期望能抢到 \(1 + \dfrac{1}{2} + \cdots + \dfrac{1}{10}\) 元。
更进一步
这个构造十分精妙。但是，读者也许会不禁疑惑：这个构造看起来很随意，它是唯一的吗？
\(f\) 需要是一个从 \(\Delta\) 到 \(S\) 的线性双射；几何意义下，它们都是 \((n-1)\) 维的单形，也就是这样的双射，只需给定每个顶点是怎样被映射的，就可唯一确定。也就是说， \(f\) 几乎是唯一构造。
我们从代数角度说明为什么它是几乎唯一的。
令 \(f_i\) 代表 \(f\) 的第 \(i\) 行的行向量（也就是作为映射， \(x_i\) 作为 \(t_i\) 的线性组合的 \(n\) 个系数）。我们发现 \(f\) 必须满足三个性质：
- \(\sum f_i = (1)_j = (1, \dots , 1)\)
- \(f_i\) 非负且单调不增（需要每一个变元都单调不增）
- \(|\det f| = \dfrac{1}{n!}\)
第一条性质保证了 \(f\) 会从 \(\Delta\) 映射到 \(\Delta\) ；第二条性质保证了 \(f\) 会映射到 \(\Delta\) 中 \(S\) 的部分；第三条性质保证了 \(f\) 会正确地对应概率密度函数（再从几何直观上理解， \(f\) 的像集既在 \(S\) 之内，又和 \(S\) 的体积是一样的，那么只能恰好为 \(S\) 了）。
由性质二，不妨设 \(f_{n+1}=0\) ，并取 \(f\) 的一个差分矩阵（每行差分）：
\(M_i = f_i-f_{i+1}\)
从而三条性质等价地变化为
- \(\sum iM_i = (1)_j\)
- \(M_i \ge 0\) （指每个矩阵元非负）
- \(|\det M| = \dfrac{1}{n!}\)
则
\[ \begin{align*} |\det M| &\le \prod_{i=1}^n \|M_i\|_2 \\ &= \frac{1}{n!} \prod_{i=1}^n \|i M_i\|_2 \\ &\le \frac{1}{n!} \left( \frac{\sum_{i=1}^n \|i M_i\|_2}{n} \right)^n \\ &\le \frac{1}{n!} \left( \frac{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n i M_{ij}}{n} \right)^n \\ &= \frac{1}{n!} \left( \frac{\sum_{j=1}^n 1}{n} \right)^n \\ &= \frac{1}{n!} \left( \frac{n}{n} \right)^n \\ &= \frac{1}{n!} \end{align*} \]
第一个不等号对应Hadamard不等式，第二个不等号对应均值不等式。取等条件由三个不等号的取等条件共同给出：第三个不等号告诉我们每一行只有一个非零元，第一个不等号告诉我们每一行都是正交的向量，即每行的非零元对应的列都不一样，第二个不等号告诉我们第 \(i\) 行的非零元满足 \(M_{i, \sigma(i)} \cdot i\) 是一个常量，从而易知 \(M_{i, \sigma(i)} = \dfrac{1}{i}\) （因为现在行列式的绝对值等于每个非零元的乘积）。也就是 \(M\) 必须是我们给出的例子 \(f\) 的差分矩阵只交换列得到的。从而每一个满足要求的 \(f\) 都可以通过我们给出的例子交换一些列来得到。这刚好对应了几何直观： \((n-1)\) 维单纯形的 \(n\) 个顶点的排列。